我为什么要读 GEB

什么是计算机科学最本质的东西

一种错误的思潮常常占据主流舆论，就是校园里学习到的专业知识对工作的意义不大。这是一个典型的传播学谬误，因为它很有市场，满足了人们对于“速成”，“社会达尔文主义”，“经验至上”等熟悉的心理模型。

近几年当我回顾大学阶段在《可计算理论》、《程序设计原理》、《离散数学》等课程的时候，会发现当年觉得味同嚼蜡、百无一用的知识，实则是计算机科学最优美的东西。举个人们最喜欢高屋建瓴讨论的问题：

人工智能可以取代人类么？

在我们去学习去挖掘现象背后的理论时，很多东西就会变得明朗起来，很多问题也会浮现出更深层的答案，而不只是停留在表层解释。这并非说科班出身一定优于半路出家的朋友，而是说能够学习遵循却不沉迷于前人探索的人，能够保持最为清晰的逻辑思考。

GEB是通向计算机科学最本质东西的阶梯

在这个意义上，我再次拿起这本奇书的原因，一方面是回顾一下从未读完的这篇经典，另一方面，我希望借由哥德尔、埃舍尔和巴赫这三条线索，能够重新整理自己对人工智能、形式系统和意识问题的思考。哥德尔不完备性定理、埃舍尔的绘画、巴赫的音乐创作，都以不同方式展现了自我指涉。它们既反映出形式系统的能力与缺陷，也引出了关于智能与意识的思考。我希望通过自己的讲述，让这些迷人的知识展现出它们的光芒。

一些我喜欢的科普作品

有一些我非常喜欢的视频，把哥德尔不完备性定理和图灵不可判定性的证明讲述得非常精彩，这里分享给大家：

• Bilibili: 【毕导】这个视频里说的都是真的，但你却永远无法证明
• Bilibili: 【漫士】这是世界上增长最快的数列，不服来战

书籍结构

上下篇	章节	简评	链接
上篇	导言	全书主题入口：哥德尔、埃舍尔、巴赫共同指向“怪圈”、同构、自我指涉与意义生成。	本文
	第 1 章：MU 谜题	用一个简单形式系统引出“规则操作”和“意义理解”的区别。
	第 2 章：数学中的意义与形式	讨论数学符号如何在形式规则之外获得意义，是全书形式系统问题的起点。
	第 3 章：图形与背景	从感知和结构切换切入，展示意义如何依赖观察框架。
	第 4 章：一致性、完备性与几何	进入形式系统的核心限制：系统想要可靠、完整，却会遭遇深层张力。
	第 5 章：递归结构与递归过程	递归开始成为主角，为后面的自指和怪圈铺路。
	第 6 章：意义的位置	追问意义究竟存在于符号、系统、解释者，还是它们之间的关系中。
	第 7 章：命题演算	通过更正式的逻辑系统，展示机械推导的力量与边界。
	第 8 章：印符数论	让形式系统能够表达数论，为哥德尔编码和自我指涉做技术铺垫。
	第 9 章：无门与哥德尔	上篇高潮：哥德尔不完备性定理正式登场，形式系统开始谈论自身。
下篇	第 10 章：描述层次与计算机系统	从数学形式系统转向计算机系统，讨论不同层级描述如何同时成立。
	第 11 章：大脑与思想	把问题推进到心智：物理大脑如何对应思想与意义。
	第 12 章：心智与思想	进一步讨论心智、表征、自我模型等问题，是人工智能主题的前奏。
	第 13 章：BlooP、FlooP 与 GlooP	用程序语言和可计算性讨论递归、不可判定与计算边界。
	第 14 章：论形式不可判定命题	回到哥德尔原始论文脉络，强化“不完备性”的技术与哲学意义。
	第 15 章：跳出系统	讨论人是否能够“跳出”形式系统，以及这种说法到底意味着什么。
	第 16 章：自指与自复制	从逻辑自指扩展到系统自我复制，是怪圈主题的重要展开。
	第 17 章：丘奇、图灵、塔斯基及其他	汇合可计算性、真理定义与形式系统限制，扩大全书理论背景。
	第 18 章：人工智能：回顾	回顾 AI 的早期路径，讨论机器智能为何不是单纯的工程问题。
	第 19 章：人工智能：展望	展望 AI 与心智问题，连接创造性、理解和自我模型。
	第 20 章：怪圈，或缠结的层级	全书收束：怪圈成为理解自我、意识和意义涌现的核心隐喻。

导言——一首音乐-逻辑的奉献

我设法把哥德尔、艾舍尔、巴赫这三块稀世之宝嵌为一体，集异璧之大成。开始时我打算写一篇以哥德尔定理为核心的文章。我当时以为它仅仅会是一本小册子。可是我的想法像球面一样扩展开来，不久就触及了巴赫和艾舍尔。我花了一些时间去想如何把这一联系写清楚，而不仅仅是让它作为我自己写这本书的推动力。但是最后，我认识到，对我来说，哥德尔和艾舍尔和巴赫只是某个奇妙的统一体在不同方向上的投影。我试图揭示这块在我奇异的收集过程中所发现的瑰璧，结果产生了这本书。

哥德尔

哥德尔不完备性定理

哥德尔定理是作为他一九三一年的一篇论文中的命题Ⅵ而出现的，这篇论文的题目是：“论《数学原理》及有关系统中形式上不可判定的命题Ⅰ”。该命题是这样叙述的：

哥德尔原始命题的形式化表述：

对公式的每个 ω-一致的递归类 κ，对应着一个 递归的类记号 γ，使得
ν Gen γ 或 Neg(ν Gen γ) 都不属于 Flg(κ)。

其中，ν 是 γ 的自由变量。

原文是德文，也许你觉得这种表达无论如何仍是德语式的。所以这里用更易懂的汉语把它改写为：

数论的所有一致的公理化形式系统都包含有不可判定的命题。

这就是那颗珍珠。

哥德尔使用了 哥德尔编码、自我指涉推演 等证明路径，构造出一个与自身可证明性相关的命题，这和所谓“说谎者悖论”都运用到了自指，有异曲同工之妙。与此类似，图灵机的停机问题证明也是先假设存在一个停机判定器 Halt，再构造一个与判定结果相反的程序：如果 Halt 判断它会停机，它就进入无限循环；如果 Halt 判断它不会停机，它就立刻停机。最后让这个程序判断自己，从而产生矛盾。这也是一个 自我指涉推演 过程。因而我们会发现这种结构能够很有效地证明形式系统的内部限制。

消除怪圈的尝试

书中介绍了类型论来消除理发师悖论，说谎者悖论等自指问题对集合论的冲击。简单而言，就是不允许同层级的问题自我指涉。但是在现实生活中，这是一个非常强的约束。当我们想要约束形式系统使之完备，就会发现它的表达能力已经十分残缺。

计算机的产生和智能的边界

谁也不知道非智能行为和智能行为之间的界限在哪里。事实上，认为存在明显界限也许是愚蠢的。但是智能的基本能力还是确定的，它们是：

• 对于情境有很灵活的反应；
• 充分利用机遇；
• 弄懂含糊不清或彼此矛盾的信息；
• 认识到一个情境中什么是重要的因素，什么是次要的；
• 在存在差异的情境之间能发现它们的相似处；
• 从那些由相似之处联系在一起的事物中找出差别；
• 用旧的概念综合出新的概念，把它们用新的方法组合起来；
• 提出全新的观念。

这里遇到了看起来像是悖论的东西。计算机的本性恰恰就是极不灵活、没有欲望、照章办事。尽管它们可能是速度很快的，它们仍然是无意识的东西。那么，如何能给需要智力的行为编出程序呢？这不是最最明显的自相矛盾吗？本书的一个主要论题就是讲这里根本不存在矛盾。本书的一个主要目的就是鼓励每一个读者，直接了当地面对这个表面上看来是矛盾的东西，尝一尝它的滋味，摆弄摆弄，拆开来看看，沉浸于其中，以使读者最终得以重新认识存在于形式化的和非形式化的、有生命的和无生命的、灵活的和不灵活的事物之间的那些表面上看来不可逾越的鸿沟。

那么我们关心的这些问题，例如智能的边界、机械化证明的边界，究竟有多少与这个自指证明相关呢？而作者想要表达的就是，它们十分相关。

巴赫

巴赫在这里使用卡农（canonic）这个词语意双关，它不仅有“用卡农”（with canon）的意思，还包含着“用可能有的最好方式”的意思。这句题辞的每个词的首字母排在一起是RICERCAR

卡农的基本点是一个单一的主题与它自己相伴而奏。由加入的各个不同声部分别唱出主题的“副本”。但做这种事可以有许多种方式。

我还应该简单解释一下什么是赋格。赋格在下述这一点上像卡农一样：它通常也是建立在一个主题上，以不同的声部、不同的调子、偶尔也用不同的速度或上下颠倒或从后往前地进行演奏。然而，赋格的概念远不如卡农那么严格，因而允许有更多的情感或艺术的表现。

在这部卡农中，巴赫给了我们有关“怪圈”这一概念的第一个例子。所谓“怪圈”现象，就是当我们向上（或向下）穿过某种层次系统中的（这里，系统是音乐的调子）一些层次时，会意外地发现我们正好回到了我们开始的地方。

艾舍尔

最想说的是，这很《纪念碑谷》！这种利用视觉欺骗的巧思，也是很有意思的。 图：M.C. Escher, Drawing Hands, lithograph, 1948。图片来源：Escher in The Palace。

其中，《画手》这个作品尤其引人深思：究竟是哪只手创造了哪只手？它们之间存在先后关系吗？这幅画似乎有意违背了通常的因果逻辑。它们并不符合因果顺序，或者说它们构成了一个悖论，但最巧妙的地方正在于它能够在画面中被真实地呈现出来。

这个和哥德尔的证明还是很有关联的，首先这种自指和互相创作、证明的过程，从直觉上与哥德尔的构造十分相似，另外更重要的是，这和哥德尔不完备性定理中的“真但不可证”有某种相似性：某些东西无法被系统内部的规则完全容纳，却并不因此失去它的存在感。它存在，只是它的存在方式超出了原本那套规则能够解释的范围。

三部创意曲

这里聊的是芝诺悖论，我觉得对其最好的解释就是无穷级数是可以收敛的。但是这个事情确实略反直觉，为什么无限个步骤可以有限时间内达成呢？我的理解是“推演无穷不代表着物理时间的无穷”。包括“飞矢不动”之类的都是类似的。

但是我的理解是这里作者想通过这个悖论寓言把整本书的小故事串一下，按现在时髦的话讲，就是给游戏、电影、小说创造“世界观”，不得不说这本书的作者的小巧思还是很合我的节拍的。